抽象代数基础-半群、群

抽象代数顾名思义，研究的是最纯粹的数、代数与运算之间的关系。
大一时学习的离散数学其实就是抽象代数的基础，整篇没出现过几次数字（笑）

话不多说，从群论开始：

1 定义

设$G$是非空集合，该集合上有存在二元运算$·$满足$G·G→G$，若：
（1）结合律：$a·(b·c) = (a·b)·c$
（2）存在单位元（幺元）：
（3）存在逆元：

2 性质

2.1 幺元是唯一的。

证明 现设存在多个幺元，记作e(1) ... e(n)

根据运算律：

$e(1) · e(2) · e(3) · ... · e(n) = e(1)$
$e(1) · e(2) · e(3) · ... · e(n) = e(2)$
$e(1) · e(2) · e(3) · ... · e(n) = e(3)$
$...$
$e(1) · e(2) · e(3) · ... · e(n) = e(n)$

原假设不成立。故证明所有幺元相等（等价），即幺元唯一。

2.2 对于任何有限长的列g(1 ... n)，其运算结果不会随着加括号的方式改变而改变。

证明 可以通过结合律证明，此处不做赘述。

（未完待续）